EL ÁLGEBRA DE BOOBLE

UN ÁLGEBRA DE BOOLE ES UN SISTEMA DE ELEMENTOS B={0,1} Y

LOS OPERADORES BINARIOS (·) y (+) y (’) DEFINIDOS DE LA

SIGUIENTE FORMA

A B A+B A·B A A’

0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0

1 0 1 0

1 1 1 1

OPERADOR +
OPERADOR OR

OPERADOR ·
OPERADOR AND

OPERADOR ‘
OPERADOR NOT

QUE CUMPLEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

1.- PROPIEDAD CONMUTATIVA:

A + B = B + A

A · B = B · A

2. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

A·(B+C) = A·B + A·C

A + B·C = (A+B)·(A+C)

3. ELEMENTOS NEUTROS DIFERENTES

A + 0 = A

A · 1 = A

4. SIEMPRE EXISTE EL COMPLEMENTO DE A, DENOMINADO A’

A + A’ = 1

A · A’ = 0

 PRINCIPIO DE DUALIDAD: cualquier teorema o identidad algebraica

deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo

teorema o identidad válida sin mas que intercambiar (+) por (·) y 1 por 0.

 CONSTANTE: cualquier elemento del conjunto B

 VARIABLE: símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya

sea constante o fórmula completa.Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole. T3-3

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

TEOREMA 1: el elemento complemento A’ es único.

TEOREMA 2 (ELEMENTOS NULOS): para cada elemento de B se verifica:

A+1 = 1

A·0 = 0

TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.

0’=1

1’=0

TEOREMA 4 (IDEMPOTENCIA): para cada elemento de B, se verifica:

A+A=A

A·A=A

TEOREMA 5 (INVOLUCIÓN): para cada elemento de B, se verifica:

(A’)’ = A

TEOREMA 6 (ABSORCIÓN): para cada par de elementos de B, se verifica:

A+A·B=A

A·(A+B)=A

TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:

A + A’·B = A + B

A · (A’ + B) = A · B

TEOREMA 8 (ASOCIATIVIDAD): cada uno de los operadores binarios (+) y

(·) cumple la propiedad asociativa:

A+(B+C) = (A+B)+C

A·(B·C) = (A·B)·C

LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:

(A+B)’ = A’·B’

(A·B)’ = A’ + B’Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole. T3-4

FUNCIONES BÁSICAS (I)

FUNCIÓN OR, PUERTA OR:

Tabla de Verdad Símbolo

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

FUNCIÓN AND, PUERTA AND:

Tabla de Verdad Símbolo

A B A·B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

FUNCIÓN NOT, INVERSOR:

Tabla de Verdad Símbolo

A A’

0 1

1 0

Con estos tres tipos de puertas puede realizarse cualquier función de

conmutación.

Un CONJUNTO DE PUERTAS COMPLETO es aquel con el que se puede

implementar cualquier función lógica.

· Puerta AND, puerta OR e INVERSOR

· Puerta AND e INVERSOR

· Puerta OR e INVERSOR

Historia

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic,¹publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought,² publicado en 1854.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

• Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
• Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función

las reglas del álgebra Booleana son:

Notas: (punto): significa producto lógico. + (signo de suma): significa suma lógica

Operaciones básicas en el algebra booleana

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